Number system

उदाहरण के लिए - 1+ 2 +3 +…..+105 =n(n+1)/2

(105*106)÷2= 5565

2. प्रथम n विषम संख्‍याओं का योग= n^2

 उदाहरण के लिए - 1+3+5+7= = 16 जहॉं n=4 )

3. प्रथम n सम संख्‍याओं का योग= n (n+1)

उदाहरण के लिए - 2+4+6+8+….+100 (अथवा 50 सम संख्‍यायें) = 50 × (50+1) = 2550

4. प्रथम n प्राकृतिक संख्‍याओं के वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)÷6

1^2+2^2+3^2+4^2=

4(4+1)(2*4+1)÷6=30

5. प्रथम n प्राकृतिक संख्‍याओं के घनों का योग = (n(n+1/2)^2

उदाहरण के लिए - 1^3+ 2^3 + 3^3 +………5 

{5(5+1)/2}^2=225

उदाहरण:-

1. 1 से 400 तक की सभी सम संख्‍याओं का योगफल क्‍या है?

हल- 1 से 400 तक, 400 संख्‍यायें हैं और यहाँ = 200 सम संख्‍यायें

     अत: योग= 200(200+1) = 40200 ( तृतीय नियम से)

2. 1 से 361 तक की सभी सम संख्‍याओं का योगफल क्‍या है?

हल- 1 से 361 तक 361 संख्‍यायें हैं और यहाँ = = 180 सम संख्‍यायें

    अत: योग= 180(180+1)=32580

3. 1 से 180 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल क्या है?=180÷2=90

हल- यहाँ = 90 विषम संख्‍यायें, अत: योग = = 8100

4. 1 से 51 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल क्‍या है?

हल-  26 विषम संख्‍यायें, अत: योग =imag 26^2= 676

5. 20 से 101 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल क्‍या है?

हल- योगफल= 1 से 101 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल 1 से 20 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल

           = प्रथम 51 विषम संख्‍याओं का योगफल  = प्रथम 10 विषम संख्‍याओं का योगफल

           = (51)2 – (10)2 =2601 – 100 = 2501

विविध

1. विभाजन के प्रश्‍न में हमारे पास चार राशियाँ होती हैं- भाज्‍य, भाजक, भागफल और शेषफल

ये सभी एक सम्‍बन्‍ध से जुड़े हैं।

 भाज्‍य= (भाजक  भागफल) + शेष

2. जब भाग पूरा चला जाये अर्थात शेषफल शून्‍य हो। इस स्थिति में-

 भाज्‍य= (भाजक  भागफल)

उदाहरण- 1. किसी निश्चित संख्‍या से 24446 में भाग देने पर 79 भागफल तथा 35 शेष प्राप्‍त हो तो भाजक ज्ञात करो?

हल- भाजक  भागफल = भाज्‍य शेष

     79  भाजक = 24446 35= 24411

     भाजक = 24411  79 = 309

उदाहरण- 2. जब एक संख्‍या को 12 से विभाजित करते हैं तो 7 शेष बचता है। उसी संख्‍या को 7 से विभाजित करने पर क्‍या शेष बचेगा?7÷7=0